论题-命题-定义

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论题错误是许许多多的数学家常犯的错误

许多數學家连论题都搞不清楚，就企图证明重大数学问题。數學證明是一個數學家最重要的工作，要證明一個數學問題，第一步就是確立一個論題，確立論題是一件非常嚴肅的事情，下麵我們看到一些數學家把確立數學論題當做兒戲，玩弄論題的荒唐事情。

(一)，什麼是論題

1，論述者所主張並加以辯證的“命題”,也就是論述題目中觀點叫論題。

2，邏輯學上指真實性需要證明的“命題”。

(二)，什麼是命題

1，命題必須是一句陳述句。

2，可以從命題的陳述中判斷出真假（或者說必須是一個判斷，或者说命题中有真假）。

3，命題必須有正確的結構。

也就是說，命題由“題設”和“結論”兩部分組成.“題設”是已知事項，“結論”是由已知事項推出的事項。換句話說就是“可以判斷真假的語句叫命題”。

什么是定义？

定义是已经明确的内涵与外延，与命题不完全一样。

(三)，對命題的要求

1，科學性，就是條件和結論不違反數學基本原理。

2，明確性，敘述的“概念”“原理”“涵義”“圖形”必須清楚。数学证明中每一个概念必须做到：专一性、精确性、稳定性、可以检验性、系统性。

3，適應性，不能超出範圍（通常表現為全稱肯定判斷的謂項周延，例如後面介紹的陶哲軒的論題和分拆主項或者謂項）。

4，簡潔性。

5，如果數學論題是一個全稱肯定判斷，一經證明就是一個定理，所以數學命題主項應該是一個普遍概念或者單獨概念，不能是一個集合概念。所有的數學定理的主項都是普遍概念（例如;素數有無窮多，主項素數是一個普遍概念）或者單獨概念（例如：e是一個超越數，主項e是一個單獨概念）

6，結論不能是特稱判斷。

(四)，正確論題舉例

下麵是一個正確的論題，歐幾裏得：“素數有無窮多個”。

分析：

1，這是一個陳述句。

2，這是一個明確的判斷。

3，所有的概念明確，沒有歧義。

4，結構合理，“素數”是主項，“無窮多”是謂項，

5,這是一個全稱肯定判斷，全稱判斷主項“周延”（周延就是對全部外延作了斷定）。肯定判斷謂項“不周延”，說明素數不是有限的。

(五)，张益唐-陈景润-丘成桐-陶哲轩等人论题没有意义

張益唐《素數間的有界距離》《Bounded gaps between primes》數學年刊

欧几里得证明了有无穷多个素数，每一对素数之间都是有界的，没有需要证明的内容。

陶哲轩“存在任意长的素数算术数列”是一个病句，任意长是一个或然判断。

陈景润“大偶数表示一个素数加不超过两个素数乘积之和”谓项是或然判断，主项“大偶数”是一个模糊概念。

庞加莱猜想是病句

1，庞加莱猜想的内容为：

任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

2，主项与谓项

主项中有【三维流形】，还有修饰限定主项的定语：单连通和闭流形。

谓项中有【三维球面】。

3，庞加莱猜想的主项与谓项的关系

在数学中，三维球面是一个具有三个维度的几何客体，这样的几何客体都可以归类为三维流形。

就是说，主项的内涵与外延全覆盖谓项。

4，当主项与谓项具有同样的概念内涵和外延，我们不是采用证明，而是采用种加属差定义的方法。

所以，将庞加莱猜想（命题）用定义方法：三维球面就是一个单连通的闭流形的三维流形。

5，庞加莱猜想的主项与谓项是：a，种属关系；b，是一种真包含关系；c，是传递关系。

全称判断的命题通常涉及到一个总体的所有成员都具备某项性质，如果主项包含谓项，就会以偏概全。例如“所有的学生（外延宽的）都是小学生（外延窄的）”。这种命题要求对一个整体的每一个成员进行描述，而种属关系描述的是部分与整体的关系，无法准确反映全称判断的逻辑要求。因此，在逻辑推理中，种属关系不适用于全称判断的命题‌。

6，数学中的种属关系用定义解决。类似的定义：素数就是大于1并且只能被1和自身整除的自然数（定义是已经搞清楚的内容，将自然数划分为：自然数1，素数，合数）。

我们不能用命题形式：任何大于1并且只能被1和自身整除的自然数都是素数（命题是有待于证明的问题）。

判断，必须有两个以上的不同概念；全称判断的主项与谓项必须是两个内涵完全不同的概念。而庞加莱猜想的主项与谓项是同一概念的内涵。

7，主项的功能和谓项的概念

主项表示判断句子主要说明的人或事物；谓项说明主项的动作，状态或特征-行为-属性等。

真包含关系用于判断，常常出现错误：例如“所有的学生（外延宽的）都是小学生（外延窄的）”。

庞加莱猜想就是这种错误。把本应“所有的s是p”，说成”所有的s是s的一部分“。

8，判断句子主项不能包含谓项。或者说命题的主项不能包含谓项。

数学命题的谓项一般说主项有多少或者主项是什么性质，，例如命题【素数有无穷多】（主项“素数”与谓项“无穷多”是全异关系，素数是名词，无穷多是量词；又例如命题【e是超越数-或者说e具有超越性】，（主项”e“与谓项“超越性”在证明之前是全异关系，因为，e指自然对数的底数，是名词，e是一种实数；超越指一种属性，也是名词。在证明之后是交叉关系）。

9，庞加莱猜想的主项与谓项不是全异关系，而是真包含关系。庞加莱猜想是一个病句。

看到没有？一个错误的句子不具备判断的功能。