埃拉托斯特尼筛法可以制造成为哥德巴赫猜想的大前提

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素数普遍公式

公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：

（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---中将不大于

的素数的倍数全部划去即可”。

（二）将上面的内容等价转换：“如果是合数，则它有一个因子d满足1<d≤。

（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数不能被不大于的任何素数整除，则N是一个素数”。

见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。

（四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：

...(1)

其中表示顺序素数2，3，5，,,,,。

若，则N是一个素数。

（五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示：

...(2)

由于（2）的模两两互素，根据孙子定理在范围内有唯一解...

例如，k=1时，

，解得N=3，5，7。求得了（3，）区间的全部素数。

k=2时，

，解得N=7，13，19；

，解得N=5，11，17，23。

求得了（5，）区间的全部素数。

仿此下去可以一个不漏地求得任意给定数以内的全部素数。

怎样使得两个自然数相加和相减都成为素数

（从台尔曼公式谈起【中等数学】2002年5期）

即 S+X 成为素数，S-X 也是素数。

根据除法算式定理：“给定正整数a和b，b≠0，存在唯一整数q和r（0≤r＜b），使a=bq+r”。 再根据同余定理：“每一整数恰与0,1,2,3，。.，m-1中一数同余（mod m）”。、所以，任给一个自然数S(S >4)，都可以唯一表示成为：

S=P₁M₁+C₁=P₂M₂+C₂=。。.=Pr Mr + Cr。(3)

其中 P₁，P₂，.Pr，.表示前面r个顺序素数 2，3，5，....。

Ci=0，1，2，...,.Pr—1，

P²_r /2 < S ＜ P²_r+₁

现在问，是否存在X,

X=P₁H₁+D₁=P₂H₂+D₂=......=Pr Hr +Dr .(4)

其中：Di≠Ci ； Di≠Pi - Ci。,

如果X ＜S-2，则S+X与S-X都是素数。

范例：

设S=20，

20=2M₁+0=3M₂+2=5 M₃ + 0

5²/2 < 20 <7²/2 (即25/2﹤20﹤49/2)

20的 C₁=0；C₂=2,；C₃=0。

构造X并且有4个解：

X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+1=21.;

X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+2=27;

X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+3=3;

X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+4=9.

四个解是：21，27，3，9。小于S-2的X有3和9，我们得知，20+3与20-3是一对素数；20+9与20-9是一对素数。 这就是利用素数判定法则：最小剩余不为零，并且 S+X＜P²_r+₁,， 则S+X与S-X是一对素数。

推论：

因为（S+X）+（S-X）=2S。这就是著名的哥德巴赫猜想猜想， 我们需要证明(3)和（4）式必然有小于P²_r / 2的解，就证明了哥德巴赫猜想。

孙子定理和埃拉托斯特尼筛法形成的公式已经为哥德巴赫猜想提供了合理框架，并且把问题转入到初等数论范围。尽管我们现在还不能证明它，但是，我们已经把转入初等数论范围。

逻辑结构三段论

大前提：（1）（2）式可以构造一切素数。（全称肯定判断A）。

小前提：（4）式对应（3）式必然有解x，使得S+X＜P²_r+₁。（有待证明）（全称肯定判断A）。

结论：哥德巴赫猜想成立。（全称肯定判断A）。

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黎曼猜想的素数公式与埃拉托斯特尼筛法的关系关系

参见《素数之恋》第100页德比希尔著。

。（1）

在等号两边乘以，由幂运算规则得到。

。（2）

　　我们从第（2）式子减去第二个式子，在左边我有一个.

又有它的,做减法得：

。（3）

　这个减法从那个无穷和中去掉了所有偶数项。

　　现在我们在等号两边乘以,而3是右边第一个还没有去掉的数：

（）。（4）

　　 　　我们再做减法得：

（）（）。（5）

　　　　3的所有倍数都从那个无穷和中消失了，右边还有第一个没有被去掉的数是5，如果我们两边都乘,结果是：

（）（）。（6）

从前面那个式子减去这个式子得：

（）（）（）。（7）

　　我们继续下去，对于大于1的任意s，左边对每一个带括号的表达式，并向右边一直继续下去，对这个式子的两边都依次逐个除以这些括号，我们得到：

=   .。（8）

（1）=（8） 说明黎曼猜想不是凭空产生的，而是来源与埃拉特斯特尼筛法。